Analisi Matematica II

Corsi di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente ed il Territorio e Civile

Docente: G. Trombetta (Dipartimento di Matematica)

Successioni di funzioni. Convergenza puntuale ed uniforme. Teoremi sulla convergenza uniforme. I teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata. Serie di funzioni. Serie di potenze. Serie di Taylor. Serie di Fourier. Convergenza della serie di Fourier.

Spazi Metrici e Spazi di Banach. Spazi metrici. Successioni in uno spazio metrico. Funzioni continue. Spazi vettoriali. Applicazioni lineari. Lo spazio vettoriale ed il suo duale. Spazi normati. Lo spazio normato . Spazi metrici completi. Spazi di Banach. Il teorema delle contrazioni. Insiemi compatti. Funzioni continue su insiemi compatti.

Funzioni di più Variabili. Richiami di topologia in Âⁿ. Limiti e continuità. Derivate parziali. Derivate successive. Il teorema di Schwarz. Gradiente. Differenziabilità. Funzioni composte. Derivate direzionali. Funzioni con gradiente nullo in un connesso. Formula di Taylor e differenziali di ordine superiore. Forme quadratiche. Matrici quadrate definite, semidefinite e indefinite. Massimi e minimi relativi. Funzioni a valori vettoriali.

Equazioni Differenziali Ordinarie. Il problema di Cauchy. Il teorema di Cauchy di esistenza e unicità locale. Prime conseguenze del teorema di Cauchy. Il teorema di esistenza e unicità globale. Prolungabilità delle soluzioni. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo ordine in forma normale. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo ordine non in forma normale. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni di ordine superiore al primo. Il teorema di Peano.

Equazioni Differenziali Lineari. Proprietà generali. Integrale generale di un’equazione differenziale lineare. Il metodo della variazione delle costanti. L’equazione differenziale di Bernoulli. Equazioni omogenee a coefficienti costanti. Equazioni a coefficienti costanti con termini noti di tipo particolare. Sistemi lineari. Curve ed integrali curvilinei. Curve regolari. Curve orientate. Lunghezza di una curva. Integrale curvilineo di una funzione.

Forme Differenziali Lineari. Campi vettoriali. Lavoro. Campi conservativi. Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare. Forme differenziali esatte e chiuse.

Integrali Multipli. Integrali doppi su domini normali. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Formule di Gauss-Green. Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Integrali tripli. Integrale di Riemann in Âⁿ. Proprietà degli integrali di Riemann.

Superfici e Integrali di Superficie. Superfici regolari. Coordinate locali e cambiamento di parametri. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Superfici orientabili. Superfici con bordo. Integrali di superficie. La formula di Stokes e il teorema della divergenza.

Funzioni Implicite. Il teorema del Dini per funzioni di due variabli. Il teorema del Dini per i sistemi. Il teorema di invertibilità locale. Invertibilità globale. Massimi e minimi vincolati. Il teorema di Lagrange.

L’esame prevede una prova scritta ed una orale