Corsi di Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica

a.a. 2000-2001

Serie numeriche. Proprietà di linearità per serie convergenti. Serie telescopiche. Serie geometriche. Criteri di convergenza. Criteri di confronto per serie a termini non negativi. Criterio di confronto con un integrale. Criterio della radice e criterio del rapporto. Serie a termini di segno alterno. Convergenza semplice e assoluta. I criteri di convergenza di Dirichlet e di Abel. Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale e convergenza uniforme. Convergenza uniforme, continuità e integrazione. Criterio di Weierstrass per la convergenza uniforme. Serie di potenze. Cerchio di convergenza. Serie di Taylor generata da una funzione.

Equazioni differenziali del I ordine. Curve integrali e campi di direzioni. Equazioni lineari del I ordine. Equazioni del I ordine a variabili separabili. Equazioni del I ordine omogenee. Equazione di Bernoulli. Equazioni lineari del II ordine a coefficienti costanti. Equazioni differenziali lineari di ordine n. Spazio delle soluzioni di un'equazione lineare omogenea. L'algebra degli operatori differenziali a coefficienti costanti. Determinazione di una base per le soluzioni di un'equazione a coefficienti costanti. Il metodo di variazione dei parametri. Matrice wronskiana di n soluzioni indipendenti di una equazione lineare omogenea. Metodi speciali per determinare una soluzione particolare di una equazione non omogenea. Sistemi di equazioni differenziali. Equazioni differenziali e sistemi del I ordine. Teorema di esistenza e unicità per sistemi lineari e non lineari del I ordine.

Funzioni di variabile reale a valori vettoriali: limiti, derivate e integrali. Applicazioni allo studio delle curve: retta tangente. Applicazioni allo studio del moto: vettori velocità e accelerazione. Versore tangente, normale principale e piano osculatore a una curva. Lunghezza d'arco di una curva e sue proprietà.

Funzioni di più variabili, campi scalari e campi vettoriali. Intorni circolari, punti interni, esterni e di frontiera; insiemi aperti, chiusi, connessi, convessi in R² e in Rⁿ. Limiti e continuità di campi scalari e di campi vettoriali. Derivata di un campo scalare rispetto a un vettore. Derivate direzionali e derivate parziali. Derivate parziali di ordine superiore. Derivate direzionali e continuità. Derivata totale e gradiente di un campo scalare. Condizione sufficiente per la differenziabilità. Regola di derivazione di funzioni composte per le derivate dei campi scalari. Insiemi di livello. Piani tangenti. Derivate di campi vettoriali. Matrici jacobiane. Differenziabilità e continuità. Derivazione di funzioni composte per le derivate dei campi vettoriali e sua forma matriciale. Derivate di funzioni definite implicitamente. Punti di massimo, di minimo e di sella. Formula di Taylor del II ordine per i campi scalari. Matrice hessiana e natura di un punto stazionario. Test delle derivate seconde per estremi di funzioni di due variabili. Estremi vincolati e moltiplicatori di Lagrange.

Traiettorie e integrali curvilinei. Proprietà fondamentali. Integrali curvilinei rispetto alla lunghezza d'arco. La questione della indipenza dalla traiettoria. Primo e secondo teorema fondamentale del calcolo per integrali curvilinei. Condizioni affinché un campo vettoriale risulti un gradiente. Costruzione di una funzione potenziale. Equazioni differenziali esatte.

Partizioni di rettangoli. Funzioni a scala di due variabili e loro integrali doppi. Integrale doppio di funzioni limitate su un rettangolo. Calcolo di un integrale doppio tramite integrazioni successive. Interpretazione geometrica dell'integrale doppio. Integrabilità delle funzioni continue e di particolari funzioni limitate discontinue. Integrali doppi su regioni generali. Regioni di I e di II tipo. Teorema di Green. Cambiamento di variabili in un integrale doppio. Integrali n-upli. Il caso degli integrali tripli. Cambiamento di variabili in un integrale n-uplo.

Superfici e loro rappresentazione parametrica. Prodotto vettoriale fondamentale. Integrali superficiali. Cambiamento di rappresentazione parametrica. Teorema di Stokes. Rotore e divergenza di un campo vettoriale. Teorema della divergenza.